Согласно Визовому кодексу ЕС, иностранные граждане могут продлить срок действия визы и/или период пребывания, если на это имеются исключительные причины [источник]:

Форс-мажор.
Природные катаклизмы, техногенные аварии и катастрофы, закрытие границ (пандемия коронавируса) и так далее. Продление бесплатное.
Гуманитарные основания.
Внезапное серьезное заболевание или травма обладателя визы; смерть или тяжелое состояние родственника, проживающего в стране Шенгена. Продление бесплатное.
Семейные обстоятельства.
Ухудшение здоровья или рецидив заболевания родственника. Продление стоит €30.
Деловые цели.
Переговоры длятся дольше, чем изначально предполагалось. Продление стоит €30.

Других причин для продления визы не предусмотрено.

Второй и последующие запросы будут платными независимо от причины, причем по цене 60 евро для взрослых и 30 евро для детей младше 12.

Например: иностранец попал в больницу и ему бесплатно продлили визу на две недели. Но лечение заняло больше времени — второе продление будет платным.

Продление визы в случае позднего въезда в Германию

В Германии есть продление визы в случае позднего въезда (late entry) — когда срок визы использовался не полностью, поскольку въезд в ФРГ или другое государство Шенгена был запоздалым. Тогда виза может быть продлена на неиспользованные дни пребывания.

Порядок действий для продления шенгеновской визы

Необходимо обратиться в ведомство по делам иностранных граждан (департамент или отдел гражданства и миграции, региональные управления службы полиции и т.д.), предоставив:

Загранпаспорт с действительной визой (загранник должен действовать на три месяца дольше срока пролонгации) и нотариально заверенная доверенность, если заявление подается третьим лицом.
Заявление о продлении визы с указанием основания. Заполняется на официальном языке страны Шенгена, английском или ином языке, предусмотренным формой заявления (например, для Германии возможно заполнение на немецком, английском, турецком, французском и русском).

Бланк заявления можно найти на официальном сайте компетентного органа (их список ниже), запросить по электронной почте или получить при личном обращении.

Образец заполнения заявления на примере Германии

Документы, подтверждающие основание для продления (справка, выписка из медучреждения и т.д.).
Документы, подтверждающие средства для более длительного пребывания (квитанция из банкомата об остатке на счете, электронная выписка с банковского счета, спонсорское письмо).
Медицинская страховка, покрывающая период пролонгированного пребывания.

Срок рассмотрения прошения определяет компетентный орган в зависимости от срочности.

Список компетентных органов для стран Шенгена

Страна	Куда обращаться за продлением визы
Бельгия	Federal public service Interior — Immigration Office (для держателей общегражданских паспортов); Federal public service Foreign affairs (для держателей дипломатических, служебных и спецпаспортов).
Чехия	Police (Regional directorates of the alien police service)
Дания	The Danish Immigration Service; Danish Police.
Германия	Foreigners Authority (Office for Immigration)
Эстония	Police and Border Guard Board
Греция	Immigration office; Police division.
Испания	Ministry of Foreign Affairs and Cooperation — Direction General on Consular Affairs and Consular Assistance; Ministry of the Interior — Direction General for the National Police and the Civil Guard.
Франция	The Ministry of Foreign and European Affairs
Италия	The Ministry of the Interior
Латвия	The Office of Citizenship and Migration Affairs
Литва	The Migration Department under the Ministry of the Interior; The Migration Office of Vilnius Chief Police Commissariat; Migration Office of Kaunas Chief Police Commissariat; Migration Office of Klapèda Chief Police Commissariat.
Люксембург	Ministry for Foreign Affairs
Венгрия	Office of Immigration and Nationality
Мальта	Ministry for Foreign Affairs (Central Visa Unit)
Нидерланды	Offices of Immigration and Naturalisation Service; Seaport police Rotterdam-Rijnmond.
Австрия	Alien police agency
Польша	Wojewoda (provincial Governor)
Португалия	Aliens and Borders Service (SFF)
Словения	Ministry of Foreign Affairs
Словакия	Bureau of Border and Aliens; Police Ministry of the Interior.
Финляндия	The Finnish Police
Швеция	The Swedish Migration Board
Исландия	Directorate of Immigration
Норвегия	The Norwegian Police and the Directorate of Immigration
Швейцария	Abteilung Migration (Migrationsamt, Amt für Migration, Fachstelle für Migration); Sicherheitsdepartement; Service de la population et des migrants; Amt für Polizeiwesen; Ausländeramt; Amt für öffentliche.
Лихтенштейн	Ausländer und Passamt (APA)

Источник: Ec.europa.eu.